مكعبات هندسية. ما هو مكعب قطري ، وكيفية العثور عليه

  1. مكعبات هندسية. ما هو مكعب قطري ، وكيفية العثور عليه أو الشكل السداسي الشكل هو شكل ثلاثي الأبعاد...

مكعبات هندسية. ما هو مكعب قطري ، وكيفية العثور عليه

أو الشكل السداسي الشكل هو شكل ثلاثي الأبعاد ، كل وجه مربع ، كما نعلم ، جميع الأطراف متساوية. قطري المكعب هو قطعة تمر عبر مركز الشكل وتربط القمم المتماثلة. في مسدس سداسي منتظم هناك 4 أقطار ، وجميعهم سيكونون متساوين. من المهم للغاية عدم الخلط بين قطري الشكل نفسه وبين قطري وجهه أو مربعه ، الذي يقع عند قاعدته. يمر الوجه المائل للمكعب عبر وسط الوجه ويربط الرؤوس المقابلة للمربع.

صيغة لإيجاد مكعب قطري

يمكن العثور على قطري متعدد السطوح العادية باستخدام صيغة بسيطة للغاية يجب أن نتذكرها. D = a√3 ، حيث D هو قطري للمكعب ، وهو الحافة. نعطي مثالاً لمشكلة حيث يكون من الضروري العثور على قطري ، إذا كان من المعروف أن طول الحافة الخاصة به هو 2 سم ، وهنا كل شيء D = 2 ،3 فقط ، حتى لا يحتاج الأمر إلى التفكير فيه. في المثال الثاني ، اجعل حافة المكعب 3 سم ، ثم نحصل على D = √3√3 = √9 = 3. الجواب: مد 3 سم.

الصيغة التي يمكنك من خلالها العثور على قطري للوجه المكعب

Diago Diago   يمكنك أيضًا العثور على وجه بالصيغة يمكنك أيضًا العثور على وجه بالصيغة. الأقطار التي تقع على الحواف هي 12 قطعة فقط ، وكلها متساوية. الآن نتذكر d = a√2 ، حيث d هو قطري المربع ، وهو أيضًا حافة المكعب أو جانب المربع. فهم من أين جاءت هذه الصيغة بسيط للغاية. بعد كل شيء ، فإن جانبي المربع والشكل المائل ، وفي هذا الثلاثي ، يلعب القطر دورًا من تحت الوتر ، وجانبي المربع هما الأرجل التي لها نفس الطول. تذكر نظرية فيثاغورس ، وكل شيء سوف يسقط على الفور في مكانه. الآن المهمة: حافة سداسية الشكل هي √8 سم ، فمن الضروري العثور على قطري من وجهها. ندخل في الصيغة ، ونحصل على d = √8 √2 = √16 = 4. الجواب: قطر وجه المكعب 4 سم.

إذا كان الوجه المائل للمكعب معروفًا

بسبب حالة المشكلة ، يتم إعطاءنا فقط قطريًا لوجه متعدد السطوح المنتظم ، وهو ، مثلاً ، cm2 سم ، ونحن بحاجة إلى العثور على قطري المكعب. صيغة حل هذه المشكلة أكثر تعقيدًا بقليل من السابقة. إذا علمنا d ، فيمكننا إيجاد حافة المكعب ، بناءً على الصيغة الثانية d = a√2. نحصل على = d / √2 = √2 / √2 = 1cm (هذه هي حافتنا). وإذا كانت هذه الكمية معروفة ، فمن السهل العثور على المكعب المائل: D = 1√3 = √3. هذه هي الطريقة التي حللنا مشكلتنا.

إذا كانت مساحة السطح معروفة


تعتمد خوارزمية الحل التالية على إيجاد القطر بافتراض أنها تساوي 72 سم 2. بادئ ذي بدء ، سوف نجد مساحة وجه واحد ، وهناك ستة منها بالكامل ، لذلك ، يجب تقسيم 72 على 6 ، نحصل على 12 سم 2. هذه هي مساحة وجه واحد. للعثور على حافة متعدد السطوح العادية ، من الضروري تذكر الصيغة S = a 2 ، والتي تعني = √S. استبدل ونحصل على = √12 (حافة المكعب). وإذا علمنا هذه القيمة ، فلن يكون من الصعب العثور على D = a√3 = √12 √3 = √36 = 6. الجواب: cube diagonal هو 6 cm 2.

إذا كان طول حواف المكعب معروفًا

هناك حالات عندما تعطى المشكلة فقط طول جميع حواف المكعب. بعد ذلك ، من الضروري تقسيم هذه القيمة على 12. إنه عدد الجوانب في متعدد السطوح الصحيح. على سبيل المثال ، إذا كان مجموع كل الحواف هو 40 ، فسيكون جانب واحد يساوي 40/12 = 3.333. ندخل في الصيغة الأولى لدينا والحصول على الجواب!

التي تحتاج إلى العثور على حافة المكعب. هذا هو تعريف طول حافة المكعب حسب مساحة وجه المكعب ، وحجم المكعب ، وقطري وجه المكعب وقطري المكعب. النظر في جميع الخيارات الأربعة لمثل هذه المهام. (المهام المتبقية ، كقاعدة عامة ، هي اختلافات لما سبق أو مهام في علم المثلثات ، والتي ترتبط بشكل غير مباشر للغاية بالمسألة قيد النظر)

إذا كنت تعرف مساحة وجه المكعب ، فوجد أن حافة المكعب بسيطة للغاية. نظرًا لأن وجه المكعب عبارة عن مربع ذي جانب مساوٍ لحافة المكعب ، فإن مساحته مساوية لمربع حافة المكعب. لذلك ، يساوي طول حافة المكعب الجذر التربيعي لمنطقة وجهه ، أي:

و - طول حافة المكعب ،

S هي مساحة وجه المكعب.

العثور على وجه مكعب في حجمه أسهل. بالنظر إلى أن حجم المكعب يساوي المكعب (من الدرجة الثالثة) لطول حافة المكعب ، نحصل على أن طول حافة المكعب يساوي جذر المكعب (الدرجة الثالثة) من حجمه ، أي:

و - طول حافة المكعب ،

الخامس هو حجم المكعب.

العثور على طول حافة المكعب على طول الأقطار المعروفة أكثر صعوبة قليلاً. تدل بواسطة:

و - طول حافة المكعب ؛

ب - طول قطري لوجه المكعب ؛

ج - طول المكعب قطري.

كما يتضح من الشكل ، شكل قطري الوجه وحواف المكعب مثلث متساوي الأضلاع مستطيل الشكل. لذلك ، من خلال نظرية فيثاغورس:

من هنا نجد:

(للعثور على حافة المكعب تحتاج إلى استخراج الجذر التربيعي من نصف مربع الوجه المائل).

للعثور على حافة المكعب على طول قطريها ، نستخدم النموذج مرة أخرى. شكل قطري المكعب (ج) ، قطري الوجه (ب) ، وحافة المكعب (أ) مثلث الأيمن. لذلك ، وفقا لنظرية فيثاغورس:

نستخدم العلاقة أعلاه بين a و b و البديل في الصيغة

b ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2. نحصل على:

a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2 ، حيث نجد:

3 * a ^ 2 = c ^ 2 ، وبالتالي:

المكعب متوازي الشكل ، جميع حوافه متساوية. لذلك ، يتم تبسيط الصيغة العامة لحجم متوازي المستطيل والمعادلة الخاصة بمساحة سطحه في حالة المكعب . أيضا ، يمكن العثور على حجم المكعب ومساحة سطحه ، مع العلم بحجم الكرة المسجلة فيه ، أو الكرة الموصوفة حوله.

سوف تحتاج

  • طول جانب المكعب ، دائرة نصف قطرها للكرة المدونة والموصوفة

تعليمات

حجم مواز مستطيل الشكل هو: V = abc - حيث أ ، ب ، ج هي أبعادها. لذلك ، فإن حجم المكعب يساوي V = a * a * a = a ^ 3 ، حيث a هو طول جانب المكعب . مساحة السطح المكعب تساوي مجموع المساحات من جميع وجوهها. يحتوي المكعب على ستة وجوه ، لذلك مساحة سطحه هي S = 6 * (a ^ 2).

دع الكرة تتناسب مع المكعب. من الواضح ، سيكون قطر هذه الكرة مساوياً لجانب المكعب . استبدال طول القطر في التعبير عن الحجم بدلاً من طول حافة المكعب واستخدام هذا القطر يساوي ضعف نصف القطر ، نحصل على V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3) ، حيث d هو قطر الدائرة المنقوشة و r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة ، ثم تكون مساحة سطح المكعب S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).

دع الكرة موصوفة حول المكعب . ثم سيتزامن قطرها مع قطري المكعب . يمر قطري المكعب عبر وسط المكعب ويربط نقطتيه المتعارضتين.
فكر أولاً في أحد وجوه المكعب . حواف هذا الوجه هي أرجل مثلث قائم ، يكون فيه قطري الوجه d عبارة عن شلل نصفي. ثم ، من خلال نظرية فيثاغورس ، نحصل على: d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.

ثم فكر في المثلث الذي يكون فيه التنويم المغنطيسي هو قطري المكعب ، وقطري الوجه d وأحد حواف المكعب a هو ساقيه. وبالمثل ، من خلال نظرية فيثاغورس ، نحصل على: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) = a * sqrt (3).
لذلك ، وفقًا للصيغة المشتقة ، يكون قطر المكعب D = a * sqrt (3). وبالتالي ، أ = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). لذلك ، V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt (3)) ، حيث R هو نصف قطر الكرة الموصوفة. مساحة سطح المكعب هي S = 6 * ((D / sqrt (3)) ^ 2) = 6 * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).

غالبًا ما تكون هناك مهام تحتاج فيها إلى العثور على حافة المكعب ، وغالبًا ما يتم ذلك بناءً على معلومات حول حجمها أو مساحة وجهها أو قطريها. هناك عدة خيارات لتحديد حافة المكعب.

في هذه الحالة ، إذا كانت مساحة المكعب معروفة ، فيمكن تحديد الحافة بسهولة. وجه المكعب مربع ذو جانب مساوٍ لحافة المكعب. وفقا لذلك ، مساحتها تساوي الحافة المربعة للمكعب. يجب عليك استخدام الصيغة: a = √S ، حيث a هو طول حافة المكعب ، و S هي مساحة وجه المكعب. العثور على حافة مكعب من حجمها مهمة أبسط. من الضروري أن تأخذ في الاعتبار أن حجم المكعب يساوي مكعب (في الدرجة الثالثة) طول حافة المكعب. اتضح أن طول الحافة يساوي الجذر مكعب من حجمه. بمعنى ، نحصل على الصيغة التالية: a = √V ، حيث a هي طول حافة المكعب ، و V هي حجم المكعب.


قطريًا ، يمكنك أيضًا العثور على حافة المكعب. وفقًا لذلك ، نحتاج إلى: أ- طول حافة المكعب ، ب- طول القطر الخاص بوجه المكعب ، ج- طول القطر المكعب. من خلال نظرية فيثاغورس ، نحصل على: a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2 ، ومن هنا يمكنك اشتقاق الصيغة التالية بسهولة: a = √ (b ^ 2/2) ، التي تستخرج حافة المكعب.


مرة أخرى ، باستخدام نظرية فيثاغورس (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2) ، يمكننا الحصول على العلاقة التالية: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2 ، والتي نشتق منها: 3 * a ^ 2 = c ^ 2 ، لذلك ، يمكن الحصول على حافة المكعب كما يلي: a = √ (c ^ 2/3).


مرة أخرى ، باستخدام نظرية فيثاغورس (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2) ، يمكننا الحصول على العلاقة التالية: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2 ، والتي نشتق منها: 3 * a ^ 2 = c ^ 2 ، لذلك ، يمكن الحصول على حافة المكعب كما يلي: a = √ (c ^ 2/3)